今日の数学検討会
何それ６問しかないなら全部写してもたいした労力じゃないよね！ 理系問題
一般的に使える積分記号がhtmlにないので、定積分(1..0) ってのは積分区間が0から1と適当に読み替えて。積分記号で1が上に来るように。
第1問
次の３条件 (ア), (イ), (ウ) を満たす関数f(x)を考える。
(ア) 関数f(x)は区間 0 ≦ x ≦ 1 において連続である
(イ) 定積分(1..0){ f(x) }dx = 1
(ウ) 定積分(1..0){ x f(x) }dx = 1
(1) 定積分(1..0){ { f(x) - (ax + b) }2 }dx の値を最小にする実数a,bの値を求めよ
(2) ３条件 (ア), (イ), (ウ) を満たす関数f(x)のうちで、定積分(1..0){ f(x) }2 dx の値を最小にするものと、そのときの最小値を求めよ
最後に解いた、というか途中まで平方完成という手法を忘れていた 6x-2 ?
(2)の証明思いつかないけど、f(x)がax+bであるならば、実際問題最小です。仕様ですから。 みたいな議論を(1)から出てくる式を使ってしてみた。 いきなり f(x) = 6x - 2 最小値は 4 とだけ書いてそれから証明開始、なんとなれば。
第2問
平面状に中心間の距離が3であるような半径1の2円、C1, C2 がある。C1の周上にある２点 P1, P2 が P1P2 = 2 を満たしながら動き、C2 の周上または内部にある２点 Q1, Q2 が Q1 Q2 = 2d を満たしながら動く。ただし、dは 0 < d < 1 を満たす実数である。
(1) 線分 Q1, Q2の中点を M とするとき
P1Q12 + P1Q22 = 2 ( P1M2 + d2 )
が成り立つことを示せ。
(2) L = P1Q12 + P1Q22 + P2Q12 + P2Q22 の最大値を d を用いて表せ
うがああああ Qって円の内部でもいいのか、結論変わらんけど減点ポイント… ４でくくれて√(1-d2)の混じった式が。
ちなみに当初係数間違えてdが消えた
第３問
nを4以上の整数とする。点Oを中心とする円周Cをn等分するn個の点の中から相異なるなる４個の点を無作為に選ぶとき、その４点が台形の頂点となる確率を求めよ。
ただし、台形とは少なくとも１組の向かい合う２辺が平行な四角形のことである。
解けない。難しい。めんどい。nを４で割ってあまりが1or3, 2, 0 で分類するの頭いいかも
少し考えて解けないと踏んで次に。天才のひらめきが必須カード。
第４問
nを正の整数とする。
(1) 正の整数 k に対して不等式 k < √(k(k+1)) < k+1 が成り立つことを示し、極限値 lim(n→∞){ (1/(n2) Σ(k=1→n){ √(k(k+1)) } } を求めよ。
(2) 極限値 lim(n→∞){ (1/(n2) Σ(k=1→n){ 四乗根( k(k+1)(k+2)(k+3) ) } } を求めよ。
サービス問題。センターで出たら(2)は光の速さで解答記入。
第５問
１辺の長さが１の正六角形 ABCDEF を H とする。
(1) Oを原点とする xy 平面において、Hは x≧0, y≧0 を満たす部分に含まれ、頂点Aはx軸上の x>0 の部分に、F は y軸上の y>0 の部分にあるとする。このとき、θ=∠OAFとして、C, D の座標をθを用いて表せ。
(2) Hを含む最小の正方形の１辺の長さを求めよ。
三角関数の合成で六角形の一番右のx座標と一番上のy座標がそれぞれsin(θ+t) の形で求まって、これらのうち大きいほうがもっとも小さいのを求めると値はわかるんだが証明が思いつかなかった、ので誤魔化す。
第６問
(1) kを整数とする。xについての２次方程式 x2 - kx + 1 = 0 が正の有理数解を持つならば、その解は1であることを示せ。
(2) a を 1 と異なる正の実数とする。
数列 { an } (n=1,2,3…) を
a1 = a
an+1 = (1/2) ( an + (1 / an) ) (n=1,2,3…)
によって定めるとき、anが正の整数であるような n は高々１個であることを示せ。
(1) は２解が k, (1/k) の組み合わせにしかならないとかしておいて簡単。
(2)は非常に証明が長ったらしい
- 下の式に両辺 2an をかけて両辺整理すると(1)の方程式と同じ形が出てくる。 → anが整数なら an-1は1か無理数、 対偶から、 anが無理数でも1でもないなら an+1は整数ではない
- 下の式は加減乗除だけなので、 anが有理数なら an+1も有理数、 対偶から、anが有理数でないなら an-1 も有理数でない。
- 下の式に１を入れると１が出てくる。 → a1は1でないのでanは１でない。
この３つから
問題写して何の価値があるんだ俺
